Ejercicio de Trigonometría — UNMSM

(Pista: conviene factorizar la expresión $\cos^4 x - \sen^4 x$ como una diferencia de cuadrados, ya que uno de los factores se simplifica de inmediato usando la identidad pitagórica.)

1. (Se factoriza: $\cos^4x - \sen^4x = (\cos^2x + \sen^2x)(\cos^2x - \sen^2x)$; como $\cos^2x + \sen^2x = 1$, la ecuación se reduce a $\cos^2x - \sen^2x = \dfrac{1}{2}$, es decir, $\cos 2x = \dfrac{1}{2}$.)

2. (Se resuelve $\cos 2x = \dfrac{1}{2}$ para $2x \in [0, 8\pi]$ (pues $x \in [0, 4\pi]$): las soluciones generales son $2x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ o $2x = \dfrac{5\pi}{3} + 2k\pi$.)

3. (Listando todas las soluciones dentro de $[0, 8\pi]$, se obtienen los valores $2x = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}, \dfrac{7\pi}{3}, \dfrac{11\pi}{3}, \dfrac{13\pi}{3}, \dfrac{17\pi}{3}, \dfrac{19\pi}{3}, \dfrac{23\pi}{3}$, es decir, 8 valores en total.)

4. (Dividiendo entre 2, se obtienen 8 valores distintos de $x$ dentro de $[0, 4\pi]$, por lo que la ecuación tiene 8 soluciones.)

[NOTA: el solucionario original de Trilce Academia indica expresamente que ninguna de las 5 alternativas propuestas (A-E) coincide con el resultado obtenido (8 soluciones), señalando "No hay clave. La respuesta es 8." Se deja respuesta_correcta en blanco porque, tal como viene planteada la pregunta, no hay alternativa correcta entre las opciones ofrecidas; se recomienda revisar el enunciado original (posible error de tipeo en el intervalo o en la ecuación) antes de importar este ejercicio.]

Por lo tanto, según el desarrollo, la ecuación tiene 8 soluciones, cantidad que no coincide con ninguna alternativa.