Admi-Tec
Difícil
Razones trigonométricas
UNMSM · 2025

Ejercicio de Trigonometría — UNMSM

Una pareja de recién casados proyecta comprar el terreno BCDE, que se representa en la figura descrita. Si AC = 100 m, DC = 200 m y AB = 100cos2α m, determine el área del terreno.

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  1. Como DC = 200 m es perpendicular a la base y AC = 100 m, en el triángulo rectángulo ADC se cumple tan⁡α=DCAC=200100=2\tan\alpha=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{200}{100}=2, un triángulo notable aproximado de 37°-53°, de donde α=53°2\alpha=\dfrac{53°}{2}.
  2. Con este valor, cos⁡(2α)=cos⁡(53°)=35\cos(2\alpha)=\cos(53°)=\dfrac{3}{5} (razón conocida del triángulo 37-53-90).
  3. Entonces AB = 100×35=60100\times\dfrac{3}{5}=60 m, lo que a su vez determina que BC = AC − AB = 100 − 60 = 40 m.
  4. La altura del lado BE (paralela a DC, correspondiente al segmento vertical que baja desde E) resulta ser 120 m, según la proporcionalidad de los triángulos semejantes de la figura.
  5. El terreno BCDE es un trapecio con bases paralelas de 120 m y 200 m, y altura (la base BC) de 40 m; su área es (200+1202)×40=160×40=6400 m2\left(\dfrac{200+120}{2}\right)\times 40 = 160\times 40 = 6400\ \text{m}^2. Respuesta: 6400 m².