Admi-Tec
Difícil
Razones trigonométricas
UNMSM · 2026

Ejercicio de Trigonometría — UNMSM

Se tienen dos ángulos cuyas medidas son θ\theta y β\beta, medidos en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj. El ángulo de medida θ\theta está en el segundo cuadrante y el de medida β\beta en el primer cuadrante. Si sen θ=941ytan⁡β=409tan⁡θ−910 ctg θ\text{sen}\,\theta = \frac{9}{41} \qquad \text{y} \qquad \tan\beta = \frac{40}{9}\tan\theta - \frac{9}{10}\,\text{ctg}\,\theta halle P=−310 csc β+410 sec βP = -\frac{3}{\sqrt{10}}\,\text{csc}\,\beta + \frac{4}{\sqrt{10}}\,\text{sec}\,\beta

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  1. Como θ\theta está en el segundo cuadrante y sen θ=941\text{sen}\,\theta = \dfrac{9}{41}, ubicamos a θ\theta asociado al punto N(−40,9)N(-40, 9) sobre su lado final (pues en el segundo cuadrante la abscisa es negativa, y con y=9y=9, r=41r=41 se obtiene x=−412−92=−40x = -\sqrt{41^2-9^2} = -40, consistente con un triángulo 9-40-41).
  2. Con ese punto, tan⁡θ=9−40=−940\tan\theta = \dfrac{9}{-40} = -\dfrac{9}{40} y ctg θ=−409\text{ctg}\,\theta = \dfrac{-40}{9}.
  3. Reemplazamos en la expresión de tan⁡β\tan\beta: tan⁡β=409(−940)−910(−409)=−1+4=3\tan\beta = \frac{40}{9}\left(-\frac{9}{40}\right) - \frac{9}{10}\left(-\frac{40}{9}\right) = -1 + 4 = 3
  4. Como β\beta está en el primer cuadrante y tan⁡β=3=31\tan\beta = 3 = \dfrac{3}{1}, asociamos a β\beta el punto Q(1,3)Q(1,3), de donde r=12+32=10r = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}.
  5. Entonces csc β=103\text{csc}\,\beta = \dfrac{\sqrt{10}}{3} y sec β=101=10\text{sec}\,\beta = \dfrac{\sqrt{10}}{1} = \sqrt{10}.
  6. Reemplazando en PP: P=−310(103)+410(10)=−1+4=3P = -\frac{3}{\sqrt{10}}\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right) + \frac{4}{\sqrt{10}}\left(\sqrt{10}\right) = -1 + 4 = 3

Respuesta: 3.