Ejercicio de Trigonometría — UNI

Idea clave: como la función exponencial $e^u$ es creciente, minimizar $f(x)$ equivale a minimizar el exponente $u(x)$. Y como ese exponente es una expresión cuadrática en $\cos x$, basta con completar cuadrados tratando $\cos x$ como si fuera una variable ordinaria.

1. Trabajamos solo con el exponente: $u=2\cos^2x+3\cos x+\dfrac18$.

2. Factorizamos 2 de los dos primeros términos: $u=2\left(\cos^2x+\dfrac32\cos x\right)+\dfrac18$.

3. Completamos el cuadrado dentro del paréntesis, sumando y restando $\left(\dfrac34\right)^2=\dfrac{9}{16}$: $\cos^2x+\frac32\cos x=\left(\cos x+\frac34\right)^2-\frac{9}{16}$

4. Sustituyendo: $u=2\left[\left(\cos x+\dfrac34\right)^2-\dfrac{9}{16}\right]+\dfrac18=2\left(\cos x+\dfrac34\right)^2-\dfrac{9}{8}+\dfrac18=2\left(\cos x+\dfrac34\right)^2-1$.

5. El término $\left(\cos x+\dfrac34\right)^2$ nunca es negativo, así que $u$ se minimiza cuando ese cuadrado vale exactamente 0, es decir, cuando $\cos x=-\dfrac34$ — valor perfectamente alcanzable ya que $-\dfrac34\in[-1,1]$.

6. El mínimo del exponente es entonces $u_{mín}=2(0)-1=-1$.

7. Por lo tanto, el mínimo de $f$ es $f_{mín}=e^{-1}$.

Respuesta: E) $e^{-1}$