Ejercicio de Área del sector circular

Una región tiene la forma de sector circular y se divide en dos regiones, S₁ y S₂: S₁ es el sector circular interior de radio r y ángulo θ, y S₂ es la corona que se extiende desde r hasta R, con el mismo ángulo θ. Si "r" es a R como 1 es a 3, calcule la proporción entre las áreas de las regiones S₁ y S₂.

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💡 Idea clave: el área de un sector circular es $A = \dfrac{1}{2}\theta r^2$ (con θ en radianes); cuando dos sectores comparten el mismo ángulo central, la razón de sus áreas es igual a la razón de los cuadrados de sus radios.

Sea r = k y R = 3k (por la proporción 1 : 3 dada).
El área de S₁ (sector interior de radio k) es: $S_1 = \frac{1}{2}\theta k^2$
El área de S₂ (la corona entre r = k y R = 3k) es la diferencia entre el sector completo de radio 3k y el sector de radio k: $S_2 = \frac{1}{2}\theta (3k)^2 - \frac{1}{2}\theta k^2 = \frac{1}{2}\theta(9k^2 - k^2) = \frac{1}{2}\theta(15k^2)$
Calculamos la razón pedida: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2}\theta k^2}{\frac{1}{2}\theta(15k^2)} = \frac{1}{15}$

Respuesta: E) 1/15

Ejercicio de Trigonometría — UNMSM