Ejercicio de Trigonometría — UNI

Idea clave: en un sistema donde el mismo factor ($\ln x$) multiplica tanto al seno como al coseno de $y$, conviene usar la segunda ecuación para descartar uno de los dos casos posibles (que $\ln x=0$ o que $\cos y=0$), y así reducir el problema a una sola incógnita a la vez.

1. Como $x>1$, sabemos que $\ln x>0$, así que $\ln x\neq0$ — esto descarta esa posibilidad para la segunda ecuación.

2. De $(\ln x)\cos y=0$ con $\ln x\neq0$, necesariamente $\cos y=0$.

3. Cuando $\cos y=0$, el seno toma su valor extremo: $\text{sen}\,y=1$ o $\text{sen}\,y=-1$.

4. Sustituimos en la primera ecuación, $(\ln x)\,\text{sen}\,y=-1$. Como $\ln x>0$, para que el producto sea negativo ($-1$), necesitamos que $\text{sen}\,y$ sea negativo. De las dos opciones del paso anterior, se descarta $\text{sen}\,y=1$ y queda $\text{sen}\,y=-1$.

5. Con $\text{sen}\,y=-1$: $(\ln x)(-1)=-1 \Rightarrow \ln x=1 \Rightarrow x=e$.

6. Los ángulos $y$ que cumplen $\text{sen}\,y=-1$ (y automáticamente $\cos y=0$) son los de la forma $y=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$, que se puede reescribir de forma compacta como $y=(4k-1)\dfrac{\pi}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$ (verificable dando valores: $k=0\to y=-\dfrac{\pi}{2}$, $k=1\to y=\dfrac{3\pi}{2}$, etc., todos coterminales con $\dfrac{3\pi}2$).

Respuesta: E) $\{x=e \land y=(4k-1)\frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\}$