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Identidades trigonométricas
UNI

Ejercicio de Trigonometría — UNI

Simplifique

F=24sin⁡αcos⁡3α−32sin⁡3αcos⁡3α−18sin⁡αcos⁡α+24sin⁡3αcos⁡α.F=24\sin\alpha\cos^3\alpha-32\sin^3\alpha\cos^3\alpha-18\sin\alpha\cos\alpha+24\sin^3\alpha\cos\alpha.
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Pista: agrupa el primer y el cuarto término para factorizar sin⁡αcos⁡α(sin⁡2α+cos⁡2α)\sin\alpha\cos\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha); luego usa la identidad del seno triple.

1. Agrupamos los términos lineales en sin⁡αcos⁡α\sin\alpha\cos\alpha:

24sin⁡αcos⁡3α+24sin⁡3αcos⁡α=24sin⁡αcos⁡α(cos⁡2α+sin⁡2α).24\sin\alpha\cos^3\alpha+24\sin^3\alpha\cos\alpha =24\sin\alpha\cos\alpha(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha).

Como sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1:

F=24sin⁡αcos⁡α−18sin⁡αcos⁡α−32sin⁡3αcos⁡3α.F=24\sin\alpha\cos\alpha-18\sin\alpha\cos\alpha-32\sin^3\alpha\cos^3\alpha.

Así,

F=6sin⁡αcos⁡α−32sin⁡3αcos⁡3α.F=6\sin\alpha\cos\alpha-32\sin^3\alpha\cos^3\alpha.

2. Sea

u=2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α.u=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha.

Entonces

6sin⁡αcos⁡α=3u,6\sin\alpha\cos\alpha=3u, 32sin⁡3αcos⁡3α=4u3.32\sin^3\alpha\cos^3\alpha=4u^3.

Por tanto,

F=3u−4u3.F=3u-4u^3.

3. Usando sin⁡3t=3sin⁡t−4sin⁡3t\sin3t=3\sin t-4\sin^3t con t=2αt=2\alpha:

F=sin⁡(6α).F=\sin(6\alpha).

Respuesta: C