Ejercicio de Razones trigonométricas

Bajo condiciones normales de uso, el valor de un auto eléctrico producido por la empresa Chaski Motors está dado por la función P: [0,20] → ℝ, cuya regla de correspondencia es P(t) = A·cos(Bt), donde "t" está determinado por el número de años transcurridos desde la compra del automóvil, y 0 < B ≤ π/30. Se sabe, según la gráfica, que P(0) = 50 000 (precio inicial) y que P(20) = 0 (precio nulo a los 20 años), pasando además por el punto (10, 25 000√2).

Indique el tiempo, en años, que debe pasar desde la compra del automóvil para que su precio sea igual al 60 % del precio inicial.

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💡 Idea clave: en un modelo P(t) = A·cos(Bt), la amplitud A se obtiene evaluando en t = 0 (donde el coseno vale 1), y el parámetro B se obtiene usando otro punto conocido de la gráfica (aquí, donde la función se anula).

Hallamos A: evaluando en t = 0: $50\,000 = A\cos(B \cdot 0) = A\cos(0) = A \Rightarrow A = 50\,000$
Hallamos B: evaluando en t = 20, donde el precio es 0: $0 = 50\,000\cos(20B) \Rightarrow \cos(20B) = 0$ $20B = (2k+1)\frac{\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \Rightarrow B = (2k+1)\frac{\pi}{40}$ Como el dato exige $0 < B \leq \dfrac{\pi}{30}$ , probamos con k = 0: $B = \frac{\pi}{40}$ que sí cumple la restricción (pues $\pi/40 < \pi/30$ ).
La función queda determinada: $P(t) = 50\,000\cos\left(\frac{\pi t}{40}\right)$
Planteamos la condición pedida: P = 60 % del precio inicial = 30 000: $30\,000 = 50\,000\cos\left(\frac{\pi t}{40}\right)$ $\cos\left(\frac{\pi t}{40}\right) = \frac{3}{5}$
Despejamos t aplicando arcocoseno: $\frac{\pi t}{40} = \arccos\left(\frac{3}{5}\right)$ $t = \frac{40}{\pi}\arccos\left(\frac{3}{5}\right)$

Respuesta: E) $\dfrac{40}{\pi}\text{arc cos}\left(\dfrac{3}{5}\right)$

Ejercicio de Trigonometría — UNMSM