Ejercicio de Aritmética — UNI

(Pista: descompón $\overline{abc}$ por bloques como $100a + \overline{bc}$ y despeja $\overline{bc}$ en función de $a$.)

1. (Descomponemos $\overline{abc}$ por bloques) Escribimos $\overline{abc} = 100a + \overline{bc}$, así que la ecuación del enunciado queda: $100a + \overline{bc} = 7 \cdot a \cdot \overline{bc}$

2. (Despejamos $\overline{bc}$) Agrupamos los términos con $\overline{bc}$: $100a = 7a \cdot \overline{bc} - \overline{bc} = \overline{bc}(7a - 1)$ $\overline{bc} = \frac{100a}{7a - 1}$

3. (Usamos que $a$ y $(7a-1)$ son primos entre sí) Como $\overline{bc}$ debe ser un número entero, $(7a-1)$ tiene que ser un divisor de 100, ya que "a" y "$7a-1$" no comparten factores comunes (son PESI). Entre los divisores de 100, probamos $7a - 1 = 20$, lo que da $a = 3$.

4. (Calculamos $\overline{bc}$) Reemplazando: $\overline{bc} = \frac{100 \times 3}{20} = 15 \;\Rightarrow\; b = 1,\; c = 5$

5. (Calculamos lo pedido) Entonces $a + b + c = 3 + 1 + 5 = 9$, que corresponde a la alternativa B.