Admi-Tec
Difícil
Funciones trigonométricas
UNMSM · 2025

Ejercicio de Trigonometría — UNMSM

A las 12:00 h de determinado día, se inicia un experimento con cierto tipo de bacterias. Se observa que, "t" horas después del inicio, estas bacterias forman colonias circulares cuyo radio del círculo, en milímetros, se expresa por:

r(t)=tan⁡(π4+2t)−3tan⁡(2t),0≤t<π10r(t) = \tan\left(\dfrac{\pi}{4}+2t\right) - 3\tan(2t), \qquad 0 \leq t < \dfrac{\pi}{10}

¿Cuántas horas transcurrirán para que el radio de la colonia sea de 2 milímetros?

Ver solución paso a paso
  1. Se plantea la ecuación 2=tan⁡(π4+2t)−3tan⁡(2t)2 = \tan\left(\dfrac{\pi}{4}+2t\right) - 3\tan(2t), usando la identidad de la tangente de una suma: tan⁡(π4+2t)=1+tan⁡(2t)1−tan⁡(2t)\tan\left(\dfrac{\pi}{4}+2t\right) = \dfrac{1+\tan(2t)}{1-\tan(2t)}.
  2. Reemplazando y multiplicando ambos lados por (1−tan⁡(2t))(1-\tan(2t)): 2(1−tan⁡(2t))=1+tan⁡(2t)−3tan⁡(2t)(1−tan⁡(2t))2\big(1-\tan(2t)\big) = 1+\tan(2t) - 3\tan(2t)\big(1-\tan(2t)\big).
  3. Desarrollando y simplificando los términos se llega a 3tan⁡2(2t)=13\tan^2(2t) = 1, es decir, tan⁡(2t)=13\tan(2t) = \dfrac{1}{\sqrt3} (tomando el valor correspondiente al intervalo permitido).
  4. Esto corresponde a 2t=π62t = \dfrac{\pi}{6}, de donde t=π12t = \dfrac{\pi}{12} horas.

Respuesta: B