Ejercicio de Trigonometría — UNI

(Pista: reemplaza el verseno y el coverseno por sus definiciones ($\text{vers}\,\theta=1-\cos\theta$, $\text{cov}\,\theta=1-\text{sen}\,\theta$) para simplificar $f(x)$ a una expresión que solo dependa de $\cos(\cos x)$.)

1. (Reemplazamos las definiciones de verseno y coverseno) Usando $\text{vers}\,\theta = 1-\cos\theta$ y $\text{cov}\,\theta = 1-\text{sen}\,\theta$, con $\theta=\cos x$: $f(x) = 2\text{sen}(\cos x) + 2[1-\cos(\cos x)] + 2[1-\text{sen}(\cos x)] - 1$

2. (Simplificamos la expresión) $f(x) = 2\text{sen}(\cos x) + 2 - 2\cos(\cos x) + 2 - 2\text{sen}(\cos x) - 1$ Los términos con $\text{sen}(\cos x)$ se cancelan: $f(x) = 3 - 2\cos(\cos x)$

3. (Analizamos el rango de $\cos x$) Sabemos que para todo $x$ real, $-1 \leq \cos x \leq 1$.

4. (Analizamos el rango de $\cos(\cos x)$) Como la función coseno es par y decreciente en $[0,\pi]$, y el argumento $\cos x$ se mueve en $[-1,1]$ (un intervalo simétrico dentro de $[0,\pi]$ en valor absoluto), el valor de $\cos(\cos x)$ alcanza su máximo en $\cos x = 0$ (dando $\cos(0)=1$) y su mínimo en los extremos $\cos x = \pm1$ (dando $\cos(1)$, el mismo valor en ambos casos por paridad). Entonces: $\cos(1) \leq \cos(\cos x) \leq 1$

5. (Sustituimos en $f(x)=3-2\cos(\cos x)$) Al invertir la desigualdad por el signo negativo: $-2 \leq -2\cos(\cos x) \leq -2\cos(1)$ $1 \leq 3-2\cos(\cos x) \leq 3-2\cos(1)$

6. (Concluimos) El rango de f es $[1;\,3-2\cos(1)]$, que corresponde a la alternativa E.