Ejercicio de Trigonometría — UNI

Idea clave: la bisectriz interior y la bisectriz exterior de un mismo ángulo de un triángulo son siempre perpendiculares entre sí. Esa perpendicularidad, combinada con el punto donde ambas tocan la prolongación del lado opuesto, arma un triángulo rectángulo donde uno de los ángulos agudos es exactamente $\dfrac{B-C}{2}$ — un resultado clásico de la geometría del triángulo.

1. Trazamos la bisectriz interior $V_A$ (que llega al lado BC) y la bisectriz exterior $V_A'$ del ángulo A (que llega a la prolongación de BC). Como ambas bisectrices parten del mismo vértice A y son perpendiculares entre sí, el triángulo formado por sus dos pies y el vértice A es un triángulo rectángulo con hipotenusa a lo largo de la recta BC (prolongada).

2. Es un resultado conocido de la geometría del triángulo que el ángulo entre la bisectriz interior de A y el lado BC guarda una relación directa con la semidiferencia de los otros dos ángulos: específicamente, el ángulo agudo que se forma en el pie de las bisectrices (dentro del triángulo rectángulo del paso 1) mide exactamente $\dfrac{B-C}{2}$.

3. En ese triángulo rectángulo, los catetos son justamente $V_A$ (opuesto al ángulo $\frac{B-C}2$, ya que la bisectriz interior es el lado "vertical" respecto a BC) y $V_A'$ (adyacente a ese mismo ángulo, siendo la bisectriz exterior el lado que corre a lo largo de la dirección relacionada con BC).

4. Como $m\angle B>m\angle C$, la semidiferencia $\dfrac{B-C}2$ es positiva, consistente con un triángulo rectángulo válido.

5. Por definición de tangente en un triángulo rectángulo (cateto opuesto entre cateto adyacente): $\tan\left(\frac{B-C}{2}\right)=\frac{V_A}{V_A'}$

Respuesta: D) $\dfrac{V_A}{V_A'}$