Ejercicio de Identidades trigonométricas para una variable

Para celebrar su centenario, la directiva de un club deportivo invirtió $20(\csc(3x) + \sin(3x))$ mil soles. Si $\csc(3x) - \sin(3x) = \sqrt{12}$ , con $0 < x < \dfrac{\pi}{3}$ , ¿qué monto invirtió la directiva del club?

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Sea $I = 20(\csc3x + \sin3x)$ el monto invertido. Elevando al cuadrado: $I^2 = 400\left(\csc^23x+\sin^23x+2\csc3x\sin3x\right)$ ; como $\csc3x\cdot\sin3x=1$ , ese último término vale 2.
Por otro lado, elevando al cuadrado el dato $\csc3x-\sin3x=\sqrt{12}$ : $\csc^23x+\sin^23x - 2 = 12$ , de donde $\csc^23x+\sin^23x=14$ .
Reemplazando en la expresión de $I^2$ : $I^2 = 400(14+2) = 400(16) = 6400$ , de donde $I=80$ .

Respuesta: A

Ejercicio de Trigonometría — UNMSM