Ejercicio de Números racionales

Se establece la expresión infinita

S=\frac35+\frac2{5^2}+\frac4{5^3}+\frac2{5^4}+\frac4{5^5}+\frac2{5^6}+\frac4{5^7}+\cdots

Calcule el valor de $120S$ .

Ver solución paso a paso

Pista: separa el primer término y agrupa el resto en bloques de dos términos; esos bloques forman una progresión geométrica de razón $\frac1{25}$ .

1. Escribimos

S=\frac35+\left(\frac2{5^2}+\frac4{5^3}\right)+\left(\frac2{5^4}+\frac4{5^5}\right)+\cdots.

2. El primer bloque vale

\frac2{25}+\frac4{125}=\frac{14}{125}.

Cada bloque siguiente es $\frac1{25}$ del anterior. Entonces la suma de todos los bloques es

\frac{\frac{14}{125}}{1-\frac1{25}} =\frac{14}{125}\cdot\frac{25}{24} =\frac7{60}.

3. Así,

S=\frac35+\frac7{60}=\frac{36}{60}+\frac7{60}=\frac{43}{60}.

4. Finalmente,

120S=120\left(\frac{43}{60}\right)=86.

Respuesta: A

Ejercicio de Aritmética — UNI