Admi-Tec
Difícil
Funciones trigonométricas
UNI

Ejercicio de Trigonometría — UNI

Sea la función

f(x)=eix−e−ix2i+eix+e−ix2+1.f(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}+\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2+1.

Calcule el mayor valor real mm y el menor valor real MM tales que

m≤∣f(x)∣≤M,∀x∈R.m\le |f(x)|\le M,\qquad \forall x\in\mathbb R.

Indique como respuesta

m2+M2−3.m^2+M^2-3.
Ver solución paso a paso

Pista: aplica las fórmulas de Euler para convertir la expresión exponencial en 1+sin⁡x+cos⁡x1+\sin x+\cos x y estudia el rango de esa función.

1. Por Euler,

eix−e−ix2i=sin⁡x,eix+e−ix2=cos⁡x.\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\sin x, \qquad \frac{e^{ix}+e^{-ix}}2=\cos x.

Luego

f(x)=1+sin⁡x+cos⁡x.f(x)=1+\sin x+\cos x.

2. Como

−2≤sin⁡x+cos⁡x≤2,-\sqrt2\le\sin x+\cos x\le\sqrt2,

se tiene

1−2≤f(x)≤1+2.1-\sqrt2\le f(x)\le1+\sqrt2.

Este intervalo contiene al 00, por lo que el menor valor de ∣f(x)∣|f(x)| es

m=0.m=0.

3. El mayor valor absoluto se alcanza en el extremo positivo:

M=1+2.M=1+\sqrt2.

4. Entonces

m2+M2−3=(1+2)2−3=3+22−3=22.m^2+M^2-3=(1+\sqrt2)^2-3 =3+2\sqrt2-3 =2\sqrt2.

Respuesta: B