Ejercicio de Trigonometría — UNI

(Pista: usa la identidad del ángulo doble $1+\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha$ para simplificar el primer término, tomando $\alpha=2\theta$.)

1. (Aplicamos la identidad del ángulo doble) Como $\dfrac{1+\cos(4\theta)}{2} = \dfrac{1+\cos(2\cdot2\theta)}{2} = \cos^2(2\theta)$, la ecuación se transforma en: $\cos^2(2\theta) + 5\cos^2(2\theta) = 0$ $6\cos^2(2\theta) = 0$

2. (Resolvemos la ecuación resultante) $\cos^2(2\theta) = 0 \;\Rightarrow\; \cos(2\theta) = 0$

3. (Hallamos la solución general) La solución general de $\cos\alpha = 0$ es $\alpha = 2n\pi \pm \arccos(0) = 2n\pi \pm \dfrac{\pi}{2}$. Aplicando esto a $\alpha = 2\theta$: $2\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{2}$ $\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$

4. (Concluimos) El conjunto solución es $S = \{\theta/\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}\}$, que corresponde a la alternativa D.