Admi-Tec
Difícil
Razones trigonométricas
UNMSM · 2025

Ejercicio de Trigonometría — UNMSM

Si A y B son ángulos agudos complementarios y se cumple que senA+sen2B⋅cscA=4\text{sen}A+\text{sen}^2B\cdot\text{csc}A=4, calcule el valor de M=15cos⁡A+cos⁡BM=\sqrt{15}\cos A+\cos B.

Ver solución paso a paso
  1. Usar que A y B son complementarios (A+B=90°A+B=90°), por lo que senB=cos⁡A\text{sen}B=\cos A y cos⁡B=senA\cos B=\text{sen}A.
  2. Sustituir en la ecuación dada: senA+cos⁡2A⋅cscA=4\text{sen}A+\cos^2A\cdot\text{csc}A=4, que equivale a senA+cos⁡2AsenA=4\text{sen}A+\dfrac{\cos^2A}{\text{sen}A}=4.
  3. Llevar los términos a un mismo denominador: sen2A+cos⁡2AsenA=4\dfrac{\text{sen}^2A+\cos^2A}{\text{sen}A}=4; usando la identidad pitagórica sen2A+cos⁡2A=1\text{sen}^2A+\cos^2A=1, se obtiene 1senA=4\dfrac{1}{\text{sen}A}=4, de donde senA=14\text{sen}A=\dfrac{1}{4}.
  4. Construir un triángulo rectángulo con cateto opuesto 1 e hipotenusa 4; por el teorema de Pitágoras, el cateto adyacente mide 42−12=15\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}, por lo que cos⁡A=154\cos A=\dfrac{\sqrt{15}}{4}.
  5. Calcular M=15cos⁡A+cos⁡B=15cos⁡A+senA=15(154)+14=154+14=4M=\sqrt{15}\cos A+\cos B=\sqrt{15}\cos A+\text{sen}A=\sqrt{15}\left(\dfrac{\sqrt{15}}{4}\right)+ \dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{4}+\dfrac{1}{4}=4.