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Razones y proporciones
PUCP · 2025

Ejercicio de Aritmética — PUCP

El cuarto término de una progresión aritmética es 99 y el noveno término de la misma progresión aritmética es −6-6. ¿Cuántos términos tiene que tener dicha progresión aritmética para que la suma de todos sus términos sea −21-21?

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(Pista: usa la relación an−ak=(n−k)⋅ra_n - a_k = (n-k)\cdot r para hallar primero la razón, y luego arma la fórmula de la suma de una progresión aritmética.)

1. (Con los datos a4=9a_4 = 9 y a9=−6a_9 = -6, aplicamos a9−a4=(9−4)⋅ra_9 - a_4 = (9-4)\cdot r, es decir, −15=5r-15 = 5r, de donde r=−3r = -3.)

2. (Con la razón hallada, reemplazamos en a4=a1+3ra_4 = a_1 + 3r: 9=a1+3(−3)9 = a_1 + 3(-3), de donde a1=18a_1 = 18.)

3. (Planteamos la suma de los nn términos: S=2a1+(n−1)r2⋅n=−21S = \dfrac{2a_1 + (n-1)r}{2}\cdot n = -21.)

4. (Sustituyendo a1=18a_1 = 18 y r=−3r = -3: 2(18)+(n−1)(−3)2⋅n=−21\dfrac{2(18) + (n-1)(-3)}{2}\cdot n = -21.)

5. (Resolviendo la ecuación resultante se obtiene n=14n = 14.)

Por lo tanto, la progresión debe tener 14 términos, y la respuesta correcta es la alternativa D.