Ejercicio de Trigonometría — UNI

(Pista: recuerda que $\sqrt{\text{sen}^2\theta} = |\text{sen}\,\theta|$; compara las gráficas de $f(x)=\left|\text{sen}\frac{x}{2}\right|$, que es siempre no negativa y tiene periodo $2\pi$, con $g(x)=\text{sen}\frac{x}{4}$, que tiene periodo $8\pi$, para ubicar sus puntos de corte en el intervalo pedido.)

1. Se simplifica la raíz: $\sqrt{\text{sen}^2(x/2)} = \left|\text{sen}(x/2)\right|$, por lo que la ecuación se convierte en $\left|\text{sen}\dfrac{x}{2}\right| = \text{sen}\dfrac{x}{4}$.

2. Se definen las funciones $f(x)=\left|\text{sen}\dfrac{x}{2}\right|$, de periodo $2\pi$, y $g(x)=\text{sen}\dfrac{x}{4}$, de periodo $8\pi$. Como $g(x)$ debe ser igual a un valor absoluto, solo puede haber solución donde $g(x)\geq 0$, es decir en la primera mitad del periodo de $g$, entre $0$ y $4\pi$ aproximadamente (y su comportamiento simétrico en el resto del intervalo).

3. Al graficar ambas funciones en el intervalo $\langle0;8\pi\rangle$, se observa que se cortan en tres puntos dentro de cada bloque de simetría de la función valor absoluto, ubicados simétricamente alrededor de $\pi$, $3\pi$ y en $4\pi$.

4. Aprovechando la simetría de las gráficas respecto de las rectas $x=\pi$ y $x=3\pi$ (ejes de simetría de los "arcos" de $f$), las soluciones se ubican en pares simétricos: $x=\pi+\alpha$ y $x=\pi-\alpha$ no ambas dentro del dominio positivo considerado, resultando finalmente en las soluciones $x=\pi+\alpha$, $x=3\pi-\alpha$ y $x=4\pi$ (donde $\alpha$ es el valor de corte que depende de resolver la ecuación en cada tramo, y se cancela al sumar las soluciones por simetría).

5. Se suman las soluciones: al ser $\pi+\alpha$ y $3\pi-\alpha$ simétricas respecto de $\alpha$, su suma es $\pi+\alpha+3\pi-\alpha=4\pi$; sumando la tercera solución $4\pi$, se obtiene el total: $\text{Suma} = 4\pi+4\pi = 8\pi$

Respuesta: 8π