Ejercicio de Trigonometría — UNI

Idea clave: el enunciado nos dice que esta igualdad se cumple (es decir, C es una constante fija, no depende de x). Si eso es cierto, entonces C debe dar el mismo valor sin importar qué x válido elijamos — así que la forma más rápida y confiable de hallar C es evaluar en el valor de x más simple del dominio común, en vez de manipular identidades trigonométricas complejas.

1. Primero verificamos el dominio común de x para que ambos arcoseno estén definidos: se necesita $-1\leq\dfrac{2x+1}{3}\leq1$ y $0\leq\dfrac{1-x}{3}\leq1$. Resolviendo ambas, el rango compartido es $-2\leq x\leq1$.

2. Como $x=1$ es un valor permitido y simplifica mucho los cálculos, lo usamos para evaluar: $C=\text{sen}^{-1}\left(\frac{2(1)+1}{3}\right)+2\,\text{sen}^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-1}{3}}\right)$

3. Calculamos cada término: $\dfrac{2(1)+1}{3}=1$, así que $\text{sen}^{-1}(1)=\dfrac{\pi}{2}$. Y $\sqrt{\dfrac{1-1}{3}}=\sqrt0=0$, así que $\text{sen}^{-1}(0)=0$.

4. Sustituyendo: $C=\dfrac{\pi}{2}+2(0)=\dfrac{\pi}{2}$.

5. Verificación con un segundo valor, para confirmar que efectivamente C es constante: probamos $x=-2$. Entonces $\dfrac{2(-2)+1}{3}=-1$, así que $\text{sen}^{-1}(-1)=-\dfrac{\pi}{2}$. Y $\sqrt{\dfrac{1-(-2)}{3}}=\sqrt1=1$, así que $\text{sen}^{-1}(1)=\dfrac{\pi}{2}$.

6. Con estos valores: $C=-\dfrac{\pi}{2}+2\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{\pi}{2}+\pi=\dfrac{\pi}{2}$. Coincide con el resultado anterior, confirmando que $C=\dfrac{\pi}{2}$ para todo x del dominio.

Respuesta: E) $\dfrac{\pi}{2}$