Ejercicio de Circunferencia trigonométrica

La figura muestra un sistema de coordenadas rectangulares. En él, se ubica un parque de forma circular cuyo centro coincide con el origen de coordenadas. Se desea construir una zona de juegos para niños de forma triangular y, para ello, se ubican tres puntos que corresponden a los vértices de un triángulo tal que $m\widehat{MNP}=\alpha$ y $BN=BA$ . Halle la expresión que permite calcular el área de la región triangular.

Ver solución paso a paso

Ubicando los puntos sobre la circunferencia trigonométrica de radio 1, las coordenadas de $N$ y $P$ se expresan en función de $\mathrm{sen}\,\alpha$ y $\cos\alpha$ , aprovechando que $\alpha$ es el ángulo asociado al arco $MNP$ .
El área del triángulo $PAN$ se calcula como (base $\times$ altura)/2, usando como base el segmento $AP$ (de longitud $\cos\alpha$ ) y como altura el segmento vertical asociado a $N$ (de longitud $2\,\mathrm{sen}\,\alpha$ , pues la condición $BN=BA$ implica que la altura total es el doble de $\mathrm{sen}\,\alpha$ ).
Sustituyendo: área $=\dfrac{\cos\alpha\times(-2\,\mathrm{sen}\,\alpha)}{2} = -\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\mathrm{sen}\,2\alpha$ , usando la identidad del ángulo doble $\mathrm{sen}\,2\alpha=2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha$ .

Respuesta: B ( $-\frac{1}{2}\mathrm{sen}\,2\alpha$ )

Ejercicio de Trigonometría — UNMSM