Ejercicio de Potenciación y radicación

Determine si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Todo número $n \in \mathbb{N}$ tal que $n$ es un cuadrado perfecto será $\overset{\circ}{4}$ o $(\overset{\circ}{4} + 1)$ .

II. Existen números naturales en base 10 que terminan en 2, 3 u 8, y que cumplen con ser cuadrados perfectos.

III. En los números naturales y en el sistema decimal, un número cuadrado perfecto debe ser aquel que termine en 35.

Indique la secuencia correcta.

Ver solución paso a paso

(Pista: recuerda las propiedades clásicas de los cuadrados perfectos: su forma módulo 4 y las cifras terminales permitidas.)

1. (Evaluamos la proposición I) Todo número natural $n = k^2$ cumple lo siguiente: si $k$ es par, entonces $n$ es múltiplo de 4 (es decir, $n = \overset{\circ}{4}$ ); si $k$ es impar, entonces $n$ deja residuo 1 al dividirlo entre 4 (es decir, $n = \overset{\circ}{4} + 1$ ). Por lo tanto, la proposición es verdadera.

2. (Evaluamos la proposición II) Es una propiedad conocida que ningún cuadrado perfecto, en el sistema decimal, puede terminar en las cifras 2, 3, 7 u 8. Por lo tanto, la proposición es falsa.

3. (Evaluamos la proposición III) Si un cuadrado perfecto termina en la cifra 5, entonces sus dos últimas cifras deben ser necesariamente "25" (por ejemplo $15^2 = 225$ , $25^2=625$ ). Terminar en "35" no es posible para ningún cuadrado perfecto, así que la proposición es falsa.

4. (Concluimos) La secuencia es VFF, que corresponde a la alternativa C.

Ejercicio de Aritmética — UNI