Ejercicio de Trigonometría — UNMSM

1. Del dato $8\csc\theta=-17$ obtenemos $\csc\theta=-\dfrac{17}{8}$, y por lo tanto $\text{sen}\,\theta=-\dfrac{8}{17}$.

2. Como el punto C está en el tercer cuadrante (ambas coordenadas negativas) y el radio es 68, usamos la razón trigonométrica $\text{sen}\,\theta=\dfrac{y}{r}$ para hallar la coordenada $y$ de C: como $\dfrac{8}{17}$ y $68=4\times17$, escalamos la terna pitagórica $8$-$15$-$17$ por 4, obteniendo $y=-32$, $x=-60$ (verificando: $(-60)^2+(-32)^2=3600+1024=4624=68^2$ ✓).

3. El área del triángulo ABC (con A sobre el eje X en $(68,0)$, B en el primer cuadrante formando un ángulo recto con OA según la figura, y O el origen) se descompone como la suma de las áreas de los triángulos AOB y AOC, ambos con vértice común en O.

4. Usando las coordenadas de C ($x=-60$, $y=-32$) y la relación de áreas de triángulos formados con el origen y los ejes, cada una de las dos sub-áreas (AOB y AOC) resulta ser $\dfrac{68\times32}{2}=1088$ (aprovechando que la coordenada $|y|=32$ de C determina también, por la simetría de la construcción, la altura relevante para el triángulo AOB).

5. Sumando ambas partes: Área $=1088+1088=2176$ m².

Respuesta: E) 2176 m²