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Identidades trigonométricas
UNI · 2025

Ejercicio de Trigonometría — UNI

Sean "aa", r∈R∖{0}r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}, tal que:

acos⁡(72°)+r sen(72°)=0a\cos(72°)+r\,\text{sen}(72°)=0

Calcule el valor aproximado de:

atan⁡(19°)−ra+rtan⁡(19°)\frac{a\tan(19°)-r}{a+r\tan(19°)}

Ver solución paso a paso

(Pista: despeja tan⁡(72°)\tan(72°) del dato, y reconoce que la expresión pedida tiene la misma estructura algebraica que la fórmula de la tangente de una diferencia de ángulos, tan⁡(72°−19°)\tan(72°-19°); solo falta un ajuste de signo para hacerlas coincidir.)

1. Del dato acos⁡72°+r sen72°=0a\cos72°+r\,\text{sen}72°=0, se despeja: r sen72°=−acos⁡72°r\,\text{sen}72°=-a\cos72°, de donde tan⁡72°=−ar\tan72° = -\dfrac{a}{r}.

2. Se calcula tan⁡(72°−19°)=tan⁡53°=43\tan(72°-19°)=\tan53°=\dfrac43 (valor conocido de la tangente de 53°), usando la fórmula de la tangente de la diferencia: tan⁡(72°−19°)=tan⁡72°−tan⁡19°1+tan⁡72°tan⁡19°=43\tan(72°-19°) = \frac{\tan72°-\tan19°}{1+\tan72°\tan19°} = \frac43

3. Se reemplaza tan⁡72°=−ar\tan72°=-\dfrac{a}{r} en la expresión anterior: −ar−tan⁡19°1−artan⁡19°=43\frac{-\frac{a}{r}-\tan19°}{1-\frac{a}{r}\tan19°} = \frac43

4. Se multiplican numerador y denominador por rr para eliminar la fracción interna: −a−rtan⁡19°r−atan⁡19°=43\frac{-a-r\tan19°}{r-a\tan19°} = \frac43

5. Se toma el recíproco de ambos miembros de la igualdad del paso anterior: r−atan⁡19°−a−rtan⁡19°=34\frac{r-a\tan19°}{-a-r\tan19°} = \frac34

6. Se multiplica numerador y denominador por −1-1 (lo que no altera el valor de la fracción), obteniendo exactamente la expresión pedida: atan⁡19°−ra+rtan⁡19°=34\frac{a\tan19°-r}{a+r\tan19°} = \frac34

Respuesta: 3/4