Ejercicio de Trigonometría — UNI

(Pista: transforma el producto de senos en una diferencia de cosenos, simplifica la ecuación para obtener una relación entre $\cos(2\alpha)$ y $\cos(3\alpha)$, y luego trabaja la expresión pedida como una suma de fracciones con denominador común.)

1. (Transformamos el producto de senos a una diferencia de cosenos) Usando la identidad $2\,\text{sen}\,A\,\text{sen}\,B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ con $A=\frac{5\alpha}{2}$ y $B=\frac{\alpha}{2}$: $2\,\text{sen}\left(\frac{5\alpha}{2}\right)\text{sen}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \cos(2\alpha) - \cos(3\alpha)$

2. (Reemplazamos en la ecuación original) $10\cos(2\alpha) - 13\cos(3\alpha) + \cos(2\alpha) - \cos(3\alpha) = 0$ $11\cos(2\alpha) = 14\cos(3\alpha)$

3. (Reescribimos la expresión pedida con denominador común) $\frac{11}{28}\left[\frac{1}{\cos\alpha}+\frac{1}{\cos3\alpha}\right] = \frac{11}{28}\left[\frac{\cos3\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha\cdot\cos3\alpha}\right]$

4. (Transformamos la suma de cosenos del numerador a producto) Usando $\cos3\alpha+\cos\alpha = 2\cos(2\alpha)\cos(\alpha)$: $\frac{11}{28}\left[\frac{2\cos2\alpha\cdot\cos\alpha}{\cos\alpha\cdot\cos3\alpha}\right] = \frac{11}{28}\left[\frac{2\cos2\alpha}{\cos3\alpha}\right] = \frac{11\cos2\alpha}{14\cos3\alpha}$

5. (Usamos la relación obtenida en el paso 2) Como $11\cos2\alpha = 14\cos3\alpha$, la fracción $\dfrac{11\cos2\alpha}{14\cos3\alpha} = 1$.

6. (Concluimos) El resultado es 1, que corresponde a la alternativa C.