Ejercicio de Funciones trigonométricas inversas

Para $-\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}$ , en la figura se muestra la gráfica de $y=f(x)$ junto con una región sombreada delimitada por dicha curva y el rectángulo de vértices en $(-1,-\pi/2)$ , $(1,-\pi/2)$ , $(1,\pi/2)$ y $(-1,\pi/2)$ , quedando sombreada la parte del rectángulo que está por encima de la curva. La curva mostrada pasa por los puntos $(-1,-\pi/2)$ y $(1,\pi/2)$ , con forma creciente característica de la función arcoseno.

La región sombreada puede representarse por la desigualdad:

Ver solución paso a paso

(Pista: identifica primero que la curva graficada corresponde a $y=\arcsin(x)$ , y luego determina si la región sombreada está por encima o por debajo de ella, expresando la desigualdad de la forma más directa.)

1. (Identificamos la función graficada) La curva mostrada, que va de $(-1,-\pi/2)$ a $(1,\pi/2)$ con forma creciente dentro de la franja $-\pi/2 < y < \pi/2$ , corresponde a la gráfica de $y = \arcsin(x)$ .

2. (Identificamos la región sombreada) La región sombreada, que queda por encima de la curva dentro del rectángulo, corresponde a los puntos que cumplen $y \geq \arcsin(x)$ .

3. (Convertimos la desigualdad usando que la función seno es creciente en ese intervalo) Como $\text{sen}(y)$ es una función creciente para $-\pi/2 < y < \pi/2$ , podemos aplicar seno a ambos lados de la desigualdad sin invertir el sentido: $y \geq \arcsin(x) \;\Longleftrightarrow\; \text{sen}(y) \geq x$

4. (Concluimos) La región sombreada se representa por $\text{sen}(y) \geq x$ , que corresponde a la alternativa D.

Ejercicio de Trigonometría — UNI