Ejercicio de Circunferencia trigonométrica

En la figura se presenta una circunferencia trigonométrica (de radio 1). Se traza un ángulo $\theta$ desde el origen $O$ , y se marcan sobre las rectas tangentes verticales y horizontales de la circunferencia los segmentos que representan la tangente ( $AT=\tan\theta$ , medida en la recta tangente vertical en el punto $A$ ) y la cotangente ( $NB'=\cot\theta$ , medida en la recta tangente horizontal en el punto $B'$ ). Con estos elementos se forma una región triangular sombreada limitada por los puntos $N$ , $R$ (sobre el radio) y $T$ (extremo del segmento de tangente). Calcule el área (en u²) de dicha región triangular sombreada.

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(Pista: la región triangular sombreada se puede obtener restando el área de un triángulo pequeño ( $NB'R$ ) al área de un triángulo más grande ( $NB'T$ ), ambos triángulos rectángulos con un cateto igual a la cotangente.)

1. Se identifican dos triángulos rectángulos que comparten el cateto horizontal $NB'=\cot\theta$ : el triángulo mayor $NB'T$ , cuya altura es $B'T = 1+\tan\theta$ (la suma del radio y la tangente), y el triángulo menor $NB'R$ , cuya altura es $B'R=1$ (el radio).

2. Se calcula el área del triángulo mayor: $S_{NB'T} = \frac{\cot\theta\,(1+\tan\theta)}{2}$

3. Se calcula el área del triángulo menor: $S_{NB'R} = \frac{\cot\theta\,(1)}{2}$

4. El área de la región sombreada $NRT$ es la diferencia entre ambas: $S_{NRT} = S_{NB'T}-S_{NB'R} = \frac{\cot\theta(1+\tan\theta)}{2}-\frac{\cot\theta}{2} = \frac{\cot\theta+\cot\theta\tan\theta}{2}-\frac{\cot\theta}{2}$

5. Como $\cot\theta\tan\theta=1$ , la expresión se simplifica a: $S_{NRT} = \frac{\cot\theta+1}{2}-\frac{\cot\theta}{2} = \frac{1}{2}$

Respuesta: 1/2

Ejercicio de Trigonometría — UNI