Admi-Tec
Difícil
Funciones trigonométricas inversas
UNI

Ejercicio de Trigonometría — UNI

Determine el valor de MM si

M=2arctan⁡(x)+arcsin⁡(1−x21+x2)+π6,x>0.M=2\arctan(x)+\arcsin\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)+\frac\pi6, \qquad x>0.
Ver solución paso a paso

Pista: toma x=tan⁡θx=\tan\theta con 0<θ<π20<\theta<\frac\pi2; la fracción se convierte en cos⁡2θ\cos2\theta.

1. Sea

x=tan⁡θ,0<θ<π2.x=\tan\theta,\qquad 0<\theta<\frac\pi2.

Entonces

arctan⁡x=θ\arctan x=\theta

y

1−tan⁡2θ1+tan⁡2θ=cos⁡2θ.\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}=\cos2\theta.

2. Por tanto,

M=2θ+arcsin⁡(cos⁡2θ)+π6.M=2\theta+\arcsin(\cos2\theta)+\frac\pi6.

Como 0<2θ<π0<2\theta<\pi,

arcsin⁡(cos⁡2θ)=π2−2θ.\arcsin(\cos2\theta)=\frac\pi2-2\theta.

3. Sustituyendo:

M=2θ+π2−2θ+π6=3π6+π6=2π3.M=2\theta+\frac\pi2-2\theta+\frac\pi6 =\frac{3\pi}{6}+\frac\pi6 =\frac{2\pi}{3}.

Respuesta: C