Ejercicio de Elipse — UNMSM

La figura muestra un jardín limitado por una elipse; en el centro de este, se encuentra una fuente que tiene la forma de un círculo. En un sistema coordenado rectangular XY (en metros), la ecuación de la circunferencia es $\mathscr{C}: x^2 + y^2 - 6x - 14y + 57 = 0$ .

Si $F_1$ y $F_2$ son los focos de la elipse $\mathscr{E}$ , tales que $F_1F_2 = 8$ m y $PF_1 + PF_2 = 10$ m (siendo O el centro común de la elipse y del círculo), halle el área del jardín.

Ver solución paso a paso

(Pista: el área del jardín corresponde al área de la elipse menos el área del círculo central; conviene hallar primero los semiejes de la elipse a partir de la definición de sus focos, y luego el radio de la circunferencia completando cuadrados.)

1. (Por definición de elipse, $2a = PF_1 + PF_2 = 10$ , de donde $a = 5$ ; además, $F_1F_2 = 2c = 8$ , de donde $c = 4$ .)

2. (Se halla el semieje menor con la relación $a^2 = b^2 + c^2$ : $5^2 = b^2 + 4^2$ , de donde $b = 3$ .)

3. (Se completa cuadrados en la ecuación de la circunferencia $x^2 + y^2 - 6x - 14y + 57 = 0$ para hallar su radio: el centro es $(3, 7)$ y, reemplazando, $3^2 + 7^2 - R^2 = 57$ , de donde $R = 1$ .)

4. (El área del jardín es el área de la elipse menos el área del círculo: $\text{Área} = \pi(a)(b) - \pi R^2 = \pi(5)(3) - \pi(1)^2 = 15\pi - \pi = 14\pi$ m².)

Por lo tanto, el área del jardín es $14\pi$ m², alternativa D.

Ejercicio de Aritmética — UNMSM