Admi-Tec
Medio
Razones trigonométricas
UNI

Ejercicio de Trigonometría — UNI

Si

sin⁡(3α−θ)sec⁡(3θ−α)=2sin⁡30∘,\sin(3\alpha-\theta)\sec(3\theta-\alpha)=2\sin30^\circ,

donde 3α−θ3\alpha-\theta y 3θ−α3\theta-\alpha son ángulos agudos, calcule

sin⁡(α+θ3+15∘)+tan⁡(α+θ)sec⁡(α+θ+15∘).\frac{\sin\left(\frac{\alpha+\theta}{3}+15^\circ\right)+\tan(\alpha+\theta)}{\sec(\alpha+\theta+15^\circ)}.
Ver solución paso a paso

Pista: el dato se reduce a sin⁡A=cos⁡B\sin A=\cos B. Como ambos ángulos son agudos, necesariamente son complementarios.

1. Como 2sin⁡30∘=12\sin30^\circ=1:

sin⁡(3α−θ)sec⁡(3θ−α)=1.\sin(3\alpha-\theta)\sec(3\theta-\alpha)=1.

Por tanto,

sin⁡(3α−θ)=cos⁡(3θ−α).\sin(3\alpha-\theta)=\cos(3\theta-\alpha).

2. Al ser ambos ángulos agudos, son complementarios:

(3α−θ)+(3θ−α)=90∘.(3\alpha-\theta)+(3\theta-\alpha)=90^\circ.

Entonces

2α+2θ=90∘⇒α+θ=45∘.2\alpha+2\theta=90^\circ \Rightarrow \alpha+\theta=45^\circ.

3. Sustituimos en la expresión pedida:

E=sin⁡(15∘+15∘)+tan⁡45∘sec⁡60∘.E=\frac{\sin(15^\circ+15^\circ)+\tan45^\circ}{\sec60^\circ}.

Así,

E=12+12=34.E=\frac{\frac12+1}{2}=\frac34.

Respuesta: B