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Medio
MCM y MCD de polinomios
UNMSM · 2025

Ejercicio de Álgebra — UNMSM

Sea h(x)h(x) el máximo común divisor de los polinomios 6x3−26x2+10x−86x^3-26x^2+10x-8 y 2x2−7x−42x^2-7x-4, en R[x]\mathbb{R}[x]. Si la nota promedio del curso de Cálculo que tiene un estudiante es igual a h(18)h(18), ¿cuál es esta nota promedio?

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  1. Factorizar el primer polinomio 6x3−26x2+10x−86x^3-26x^2+10x-8: extraer el factor común 2, obteniendo 2(3x3−13x2+5x−4)2(3x^3-13x^2+5x-4); luego, aplicando división sintética con la raíz x=4x=4, este se factoriza como 2(x−4)(3x2−x+1)2(x-4)(3x^2-x+1), donde el segundo factor no tiene raíces reales (discriminante negativo).
  2. Factorizar el segundo polinomio 2x2−7x−42x^2-7x-4 mediante aspa simple: (2x+1)(x−4)(2x+1)(x-4).
  3. Identificar el factor común entre ambos polinomios: (x−4)(x-4), que corresponde al máximo común divisor h(x)=x−4h(x)=x-4.
  4. Evaluar h(18)=18−4=14h(18)=18-4=14.
  5. La nota promedio del curso de Cálculo es 14.