Ejercicio de Trigonometría — UNMSM

Reordenamos la ecuacion: $10\,\text{sen}^2(x) + \text{sen}(x) - 3 = 0$

Esta es una ecuacion cuadratica en la variable $\text{sen}(x)$. Factorizando: $(2\,\text{sen}(x) - 1)(5\,\text{sen}(x) + 3) = 0$

Caso i: $2\,\text{sen}(x)-1=0$, es decir $\text{sen}(x) = \tfrac{1}{2}$. En $[0,2\pi]$, las soluciones son $x = \tfrac{\pi}{6}$ y $x = \tfrac{5\pi}{6}$. Su suma es: $\frac{\pi}{6}+\frac{5\pi}{6} = \pi$

Caso ii: $5\,\text{sen}(x)+3=0$, es decir $\text{sen}(x) = -\tfrac{3}{5}$. Al ser el seno negativo, las soluciones se ubican en el tercer y cuarto cuadrante: $x = 180°+37°$ y $x=360°-37°$ (usando el angulo de referencia de $37°$, aproximacion habitual para $\text{sen}=3/5$). Su suma es: $(180°+37°)+(360°-37°) = 540° = 3\pi \text{ rad}$

Sumando ambos casos: $A = \pi + 3\pi = 4\pi$.

La ganancia es: $\frac{7A}{\pi} \text{ miles} = \frac{7\times4\pi}{\pi} \text{ miles} = 28 \text{ miles de soles} = \text{S/ } 28\,000$

Por lo tanto, la ganancia de Antonella fue S/ 28 000.