Ejercicio de Trigonometría — UNI

Idea clave: antes de tocar la expresión trigonométrica pedida, hay que resolver la parte puramente geométrica de la figura: los ángulos de 30° marcados generan triángulos rectángulos notables (30°-60°-90°) que, al resolverlos en cadena, terminan fijando los catetos del triángulo donde vive el ángulo $\theta$.

1. Trazamos la altura auxiliar indicada en la figura, obteniendo un triángulo rectángulo notable de 30°-60°-90°. Usando la relación de lados $1:\sqrt3:2$ de ese triángulo con los datos de la figura, esa altura mide $\sqrt3$.

2. Encadenando este resultado con los otros triángulos notables de 30° marcados en la figura, se determina que el segmento de referencia $AD$ mide 8 unidades, y además $AD=AP=8$.

3. Estos dos datos (la altura $\sqrt3$ y el segmento $8$) fijan los catetos del triángulo rectángulo donde se define $\theta$, de modo que: $\cot\theta=\frac{11}{\sqrt3} \qquad\text{y}\qquad \tan\theta=\frac{\sqrt3}{11}$ (son recíprocos entre sí, como corresponde a cotangente y tangente del mismo ángulo).

4. Sustituimos en la expresión pedida: $\sqrt3\cot\theta-11\sqrt3\tan\theta=\sqrt3\left(\frac{11}{\sqrt3}\right)-11\sqrt3\left(\frac{\sqrt3}{11}\right)$

5. En el primer término, $\sqrt3$ se cancela con el $\sqrt3$ del denominador, quedando $11$. En el segundo término, el $11$ se cancela con el $11$ del denominador, y $\sqrt3\times\sqrt3=3$: queda $3$.

6. Restando: $11-3=8$.

Respuesta: E) 8