Ejercicio de Trigonometría — UNI

(Pista: reduce cada ángulo a su equivalente en el primer cuadrante usando las fórmulas de reducción ($180°+\theta$, $180°-\theta$, $360°-\theta$), y luego evalúa con los valores notables.)

1. (Reducimos cada ángulo al primer cuadrante) Escribimos cada ángulo en función de un ángulo notable: $240°=180°+60°$, $210°=180°+30°$, $120°=180°-60°$, $150°=180°-30°$, $315°=360°-45°$. Aplicando las fórmulas de reducción correspondientes: $\cos(240°)=-\cos60°,\quad \tan(210°)=\tan30°,\quad \sec(120°)=-\sec60°$ $\text{sen}(150°)=\text{sen}30°,\quad \csc(315°)=-\csc45°$

2. (Reescribimos la expresión E) $E = \frac{(-\cos60°)(\tan30°)-(-\sec60°)}{(\text{sen}30°)(-\csc45°)} = \frac{(-\cos60°)(\tan30°)+\sec60°}{-(\text{sen}30°)(\csc45°)}$

3. (Reemplazamos los valores notables) Con $\cos60°=\frac12$, $\tan30°=\frac{\sqrt3}{3}$, $\sec60°=2$, $\text{sen}30°=\frac12$, $\csc45°=\sqrt2$: $E = \frac{\left(-\frac12\right)\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)+2}{\left(\frac12\right)\left(-\sqrt2\right)}$

4. (Calculamos numéricamente) El numerador es aproximadamente $-0,2887+2=1,7113$, y el denominador es aproximadamente $-0,7071$. Entonces: $E \approx \frac{1,7113}{-0,7071} \approx -2,42$

5. (Concluimos) El valor de E es aproximadamente $-2,42$, que corresponde a la alternativa C.