Ejercicio de Trigonometría — UNI

Idea clave: cuando una suma de muchos términos parece complicada, conviene primero factorizar el término común más grande ($\theta_1R_1$) y ver si lo que queda dentro del paréntesis es una serie telescópica — una suma donde términos consecutivos se cancelan en cadena, dejando solo el primer y el último aporte.

1. Identificamos el patrón de las dos secuencias. Los denominadores de $\theta_1=4\theta_2=7\theta_3=\dots$ forman la sucesión $1,4,7,10,13,\dots$ (progresión aritmética de razón 3), y para el término 13 (que es hasta donde nos piden sumar) ese denominador es $1+3(12)=37$. De forma similar, los denominadores de $R_1=7R_2=10R_3=\dots$ forman $1,7,10,13,\dots$ con el término 13 llegando a $1+3(13)=40$.

2. Usamos la fórmula de longitud de arco $L=\theta R$ para cada sector: $L_1=\theta_1R_1$, $L_2=\theta_2R_2=\dfrac{\theta_1}{4}\cdot\dfrac{R_1}{7}$, $L_3=\dfrac{\theta_1}{7}\cdot\dfrac{R_1}{10}$, y así sucesivamente, hasta $L_{13}=\dfrac{\theta_1}{37}\cdot\dfrac{R_1}{40}$.

3. Factorizamos $\theta_1R_1$ de toda la suma: $L_1+L_2+\dots+L_{13}=\theta_1R_1\left[1+\frac{1}{4\times7}+\frac{1}{7\times10}+\frac{1}{10\times13}+\dots+\frac{1}{37\times40}\right]$

4. La suma dentro de los corchetes (sin contar el 1 inicial) es una serie telescópica clásica: cada fracción $\dfrac{1}{n(n+3)}$ se puede escribir como $\dfrac13\left(\dfrac1n-\dfrac1{n+3}\right)$. Al sumar todos los términos consecutivos desde $n=4$ hasta $n=37$, casi todo se cancela y solo sobreviven el primer y el último: $\frac13\left(\frac14-\frac1{40}\right)=\frac13\cdot\frac{36}{160}=\frac{36}{480}=\frac{3}{40}$

5. Entonces la suma total es $\theta_1R_1\left[1+\dfrac{3}{40}\right]=\theta_1R_1\cdot\dfrac{43}{40}$.

6. Sustituimos los valores dados, $\theta_1=\dfrac{\pi}{86}$ y $R_1=80$: $\frac{\pi}{86}\times80\times\frac{43}{40}=\pi\times\frac{80\times43}{86\times40}=\pi\times\frac{3440}{3440}=\pi$

Respuesta: A) $\pi$