Ejercicio de Trigonometría — UNI

Idea clave: para hallar la circunferencia que pasa por tres puntos conocidos, conviene aprovechar la simetría del problema en vez de plantear un sistema de tres ecuaciones genérico: aquí los dos focos son simétricos respecto a una horizontal, así que el centro de la circunferencia buscada debe estar sobre esa misma horizontal.

1. De la ecuación de la hipérbola identificamos: centro $\mathbb{C}(4;7)$, semieje transverso $a=3$ (vertical, porque el término positivo acompaña a $y$), semieje conjugado $b=4$. La distancia focal es $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=5$.

2. Como el eje transverso es vertical, los focos están arriba y abajo del centro: $F_1(4;12)$ y $F_2(4;2)$.

3. El eje conjugado es horizontal; tomamos como extremo el punto $B_1(8;7)$ (a la derecha del centro, a distancia $b=4$).

4. Como $F_1$ y $F_2$ tienen la misma coordenada $x=4$ y son simétricos respecto a $y=7$ (la altura del centro de la hipérbola), cualquier circunferencia que pase por ambos debe tener su centro exactamente en la recta $y=7$. Llamamos a ese centro $\mathbb{C}_1(h;7)$, con radio $R$ por determinar.

5. Planteamos que la distancia de $\mathbb{C}_1$ a $B_1(8;7)$ (ambos con $y=7$) sea igual a la distancia de $\mathbb{C}_1$ a $F_1(4;12)$: $|8-h| = \sqrt{(4-h)^2+(12-7)^2}$

6. Elevando al cuadrado ambos lados: $(8-h)^2=(4-h)^2+25$. Expandiendo: $64-16h+h^2=16-8h+h^2+25$.

7. Simplificando (los términos $h^2$ se cancelan): $64-16h=41-8h \Rightarrow 23=8h \Rightarrow h=\dfrac{23}{8}$.

8. El radio es $R=|8-h|=8-\dfrac{23}{8}=\dfrac{41}{8}$.

9. La ecuación de la circunferencia es $\left(x-\dfrac{23}{8}\right)^2+(y-7)^2=\left(\dfrac{41}{8}\right)^2$. Desarrollando los cuadrados y simplificando términos: $x^2+y^2-\frac{23}{4}x-14y+31=0$

Respuesta: C) $x^2+y^2-\dfrac{23}{4}x-14y+31=0$