Ejercicio de Aritmética — UNMSM

En problemas de fracciones irreducibles con denominador fijo, conviene primero acotar el numerador con una desigualdad, y recién después aplicar el criterio de irreducibilidad para descartar valores.

1. Buscamos $N$ tal que $\dfrac{N}{45}$ sea irreducible y $\dfrac{2}{3} < \dfrac{N}{45} < \dfrac{4}{5}$.
2. Multiplicando toda la desigualdad por $45$: $30 < N < 36$, es decir, $N \in \{31, 32, 33, 34, 35\}$.
3. Como $45 = 3^2 \times 5$, para que $\dfrac{N}{45}$ sea irreducible, $N$ no debe ser múltiplo de $3$ ni de $5$. Descartamos entonces $33$ (múltiplo de $3$) y $35$ (múltiplo de $5$).
4. Quedan como válidos $N = 31, 32, 34$: en total, $3$ fracciones irreducibles.
5. Entonces Óscar compró $3$ polos, y el gasto total es $3 \times S/\,30 = S/\,90$.