Ejercicio de Aritmética — UNMSM

(Pista: conviene hallar primero la altura y el radio de la base común entre el cono y el segmento esférico usando el teorema de Pitágoras dentro de la esfera, y luego sumar el volumen del cono con el del segmento esférico de una base.)

1. (La altura del segmento esférico es la diferencia entre el radio de la esfera y la distancia del centro a la base del segmento: $h = 3 - 1 = 2$ cm; esta es la altura $AH$.)

2. (Como $BH = 3AH$, la altura del cono es $BH = 3 \times 2 = 6$ cm.)

3. (El radio de la base común se calcula con el teorema de Pitágoras dentro de la esfera, usando el radio de la esfera (3 cm) y la distancia del centro a la base (1 cm): $r = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ cm.)

4. (Se calcula el volumen del cono: $V_{cono} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 (BH) = \dfrac{1}{3}\pi (2\sqrt{2})^2 (6) = 16\pi$ cm³.)

5. (Se calcula el volumen del segmento esférico de una base con la fórmula $V = \dfrac{1}{6}\pi h(3r^2+h^2)$, o de forma equivalente sumando un casquete: $V_{segmento} = \dfrac{1}{6}\pi (2)^3 + \dfrac{1}{2}\pi(2\sqrt{2})^2(2) = \dfrac{4\pi}{3} + 8\pi = \dfrac{28\pi}{3}$ cm³.)

6. (Se suman ambos volúmenes: $16\pi + \dfrac{28\pi}{3} = \dfrac{48\pi + 28\pi}{3} = \dfrac{76\pi}{3}$ cm³.)

Por lo tanto, el volumen del sólido formado es $\dfrac{76\pi}{3}$ cm³, alternativa E.