Ejercicio de Trigonometría — UNI

(Pista: primero determina en qué cuadrantes puede estar x usando el dato $4\,\text{sen}(x)\cos(x)>0$, y luego simplifica algebraicamente cada expresión antes de analizar su signo.)

1. (Determinamos los cuadrantes posibles de x) Como $4\,\text{sen}(x)\cos(x) > 0$, esto equivale a $\text{sen}(2x) > 0$, lo cual implica que $\text{sen}(x)$ y $\cos(x)$ tienen el mismo signo. Esto ocurre en el I cuadrante (ambos positivos) o en el III cuadrante (ambos negativos).

2. (Analizamos el signo de U) Simplificamos: $U = (5-3\tan x)\cot x + 3 = 5\cot x - 3 + 3 = 5\cot x$ Como $\cot x = \dfrac{\cos x}{\text{sen}x}$ es positivo tanto en el I como en el III cuadrante (cociente de dos cantidades del mismo signo), entonces $U$ es positivo: $U = (+)$.

3. (Analizamos el signo de N) $N = \cos^9(x)\,\text{sen}^{39}(x)$. En el I cuadrante, ambos factores son positivos, por lo que $N$ es positivo. En el III cuadrante, $\cos^9(x)$ es negativo (exponente impar) y $\text{sen}^{39}(x)$ también es negativo (exponente impar), así que su producto es positivo. En ambos casos $N = (+)$.

4. (Analizamos el signo de I) Factorizamos: $I = \text{sen}^2(2x)[\text{sen}^2(2x)-10]$ El primer factor $\text{sen}^2(2x)$ siempre es no negativo, y el segundo factor $\text{sen}^2(2x)-10$ siempre es negativo (pues $\text{sen}^2(2x) \leq 1 < 10$). Por lo tanto, el producto es negativo (o cero, pero en general negativo): $I = (-)$.

5. (Concluimos) Los signos son $(+)(+)(-)$, que corresponde a la alternativa B.