Ejercicio de Aritmética — UNI

Idea clave: en este tipo de igualdad entre fracciones conviene despejar una variable en función de la otra y luego usar una sustitución que elimine la fracción, para poder contar soluciones enteras con facilidad.

1. Multiplicando en cruz: $(b-7)(a+5)=ab$.

2. Expandiendo el lado izquierdo: $ab+5b-7a-35=ab$.

3. Los términos $ab$ se cancelan, quedando: $5b-7a-35=0 \Rightarrow 5b=7a+35 \Rightarrow b=\dfrac{7a+35}{5}=\dfrac{7(a+5)}{5}$.

4. Para que $b$ sea entero, $5$ debe dividir a $7(a+5)$. Como $\gcd(7,5)=1$, esto exige que $5$ divida a $(a+5)$, es decir, que $a$ sea múltiplo de 5.

5. Escribimos $a=5t$, con $t$ un entero positivo. Entonces $b=\dfrac{7(5t+5)}{5}=7(t+1)=7t+7$.

6. Como el numerador $a$ debe tener dos cifras: $10\leq a<100 \Rightarrow 10\leq5t<100 \Rightarrow 2\leq t<20$.

7. Los valores enteros de $t$ van de 2 a 19, es decir, $19-2+1=18$ valores.

8. Cada valor de $t$ produce una fracción distinta $\left(a=5t,\ b=7t+7\right)$, así que hay 18 fracciones que cumplen la condición.

Respuesta: C) 18