Admi-Tec
Difícil
Ecuaciones trigonométricas
UNMSM · 2026

Ejercicio de Trigonometría — UNMSM

Un empresario se dedica a la crianza de cuyes. Pregunta a su administrador cuántos animales posee actualmente y recibe como respuesta 20Lπ\dfrac{20L}{\pi}, donde LL es la suma de todos los valores que puede tomar "xx" al resolver la ecuación 4cos⁡2x⋅cos⁡2x=cos⁡2x,0≤x≤2π4\cos^2 x \cdot \cos 2x = \cos 2x, \qquad 0 \le x \le 2\pi ¿Cuántos cuyes tiene el empresario?

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  1. La ecuación 4cos⁡2x⋅cos⁡2x=cos⁡2x4\cos^2x \cdot \cos 2x = \cos 2x se puede reescribir como cos⁡2x (4cos⁡2x−1)=0\cos 2x\,(4\cos^2 x - 1) = 0, así que se resuelven dos ecuaciones por separado.
  2. Caso 1: cos⁡2x=0\cos 2x = 0. En el intervalo 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi, esto ocurre cuando 2x=π2,3π2,5π2,7π22x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2}, es decir: x=π4, 3π4, 5π4, 7π4x = \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}
  3. Caso 2: 4cos⁡2x−1=0⇒cos⁡x=±124\cos^2x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \pm\dfrac{1}{2}.
    • cos⁡x=12\cos x = \dfrac12: x=π3, 5π3x = \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3}
    • cos⁡x=−12\cos x = -\dfrac12: x=2π3, 4π3x = \dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3}
  4. Sumando las ocho soluciones encontradas para obtener LL: L=(π4+3π4+5π4+7π4)+(π3+5π3+2π3+4π3)=4π+4π=8πL = \left(\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}+\frac{5\pi}{4}+\frac{7\pi}{4}\right) + \left(\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}\right) = 4\pi + 4\pi = 8\pi
  5. Reemplazando en la fórmula dada: 20Lπ=20(8π)π=160\frac{20L}{\pi} = \frac{20(8\pi)}{\pi} = 160

Respuesta: 160 cuyes.