Ejercicio de Trigonometría — UNI

Idea clave: cuando dos segmentos cruzan un cuadrado en direcciones distintas, conviene ubicar un lado del cuadrado como referencia horizontal y expresar el ángulo entre ambos segmentos como la suma de los ángulos que cada uno forma con esa referencia — así cada ángulo auxiliar se lee directamente de un triángulo rectángulo simple.

1. Ubicamos las medidas: como el lado del cuadrado es $8$ y $CT=2$, el punto T divide al lado BC de modo que $BT=8-2=6$. Como M es punto medio de CD, se tiene $CM=MD=4$.

2. Tomamos el lado BC (donde está T) como referencia horizontal. El segmento AT sube desde A formando con esa referencia un ángulo $x$, donde el cateto vertical es el lado del cuadrado (8) y el cateto horizontal es BT (6): $\tan x=\dfrac{8}{6}$.

3. El segmento BM baja desde B formando con la misma referencia un ángulo $y$ hacia el otro lado, donde el cateto vertical es CM (4) y el cateto horizontal es el lado del cuadrado (8): $\tan y=\dfrac{4}{8}$.

4. Como AT se abre hacia un lado de la referencia y BM hacia el otro, el ángulo total entre ambos segmentos es $\alpha=x+y$.

5. Aplicamos la fórmula de la tangente de la suma: $\tan\alpha=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\cdot\tan y}=\frac{\frac86+\frac48}{1-\frac86\cdot\frac48}=\frac{\frac{11}{6}}{1-\frac{2}{3}}=\frac{\frac{11}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{11}{2}$

6. Nos piden $4\tan\alpha=4\left(\dfrac{11}{2}\right)=22$.

Respuesta: C) 22