Admi-Tec
Difícil
Razones trigonométricas
UNI

Ejercicio de Trigonometría — UNI

Las distancias desde los puntos AA y BB a la recta

L:4x−3y−32=0L:4x-3y-32=0

adoptan sus valores máximo y mínimo, respectivamente. Calcule el valor de:

tan⁡α−tan⁡β.\tan\alpha-\tan\beta.
Ver solución paso a paso

Pista: los puntos de una circunferencia que maximizan y minimizan la distancia a una recta están en el diámetro perpendicular a esa recta.

1. Completamos cuadrados:

x2+y2−10y+16=0⇒x2+(y−5)2=9.x^2+y^2-10y+16=0 \Rightarrow x^2+(y-5)^2=9.

El centro es (0,5)(0,5) y el radio es 33.

2. La recta LL tiene pendiente 43\frac43, por lo que el diámetro perpendicular tiene dirección proporcional a (−4,3)(-4,3). Como (−4)2+32=5\sqrt{(-4)^2+3^2}=5, escribimos el desplazamiento radial como (−4k,3k)(-4k,3k) con

5k=3⇒k=35.5k=3\Rightarrow k=\frac35.

Así,

A=(−4k,5+3k),B=(4k,5−3k).A=(-4k,5+3k),\qquad B=(4k,5-3k).

3. Las tangentes de los ángulos directores de OAOA y OBOB son

tan⁡α=5+3k−4k,tan⁡β=5−3k4k.\tan\alpha=\frac{5+3k}{-4k}, \qquad \tan\beta=\frac{5-3k}{4k}.

Entonces

tan⁡α−tan⁡β=5+3k−4k−5−3k4k.\tan\alpha-\tan\beta =\frac{5+3k}{-4k}-\frac{5-3k}{4k}.

4. Simplificando:

tan⁡α−tan⁡β=−104k=−104(3/5)=−256.\tan\alpha-\tan\beta =-\frac{10}{4k} =-\frac{10}{4(3/5)} =-\frac{25}{6}.

Respuesta: A