Admi-Tec
Difícil
Resolución de triángulos
UNMSM · 2026

Ejercicio de Trigonometría — UNMSM

En un triángulo escaleno ABC con AB=cAB=c, BC=aBC=a y AC=bAC=b, se cumple que (a+b)tan⁡(C2)=k(a−b)(a+b)\tan\left(\dfrac{C}{2}\right)=k(a-b). Una empresa decide invertir (4k+7)(4k+7) miles de soles para mejorar su sistema informático. Si 9tan⁡(A−B)=409\tan(A-B)=40, ¿cuánto invirtió dicha empresa, en soles?

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Aquí conviene reconocer de entrada el patrón del teorema de tangentes, y usar la relación A+B+C=180°A+B+C=180° para conectar tan⁡(A+B2)\tan\left(\frac{A+B}{2}\right) con cot⁡(C2)\cot\left(\frac{C}{2}\right).

  1. El teorema de tangentes establece: tan⁡(A−B2)/tan⁡(A+B2)=a−ba+b\tan\left(\dfrac{A-B}{2}\right) \Big/ \tan\left(\dfrac{A+B}{2}\right) = \dfrac{a-b}{a+b}.
  2. Como A+B+C=180°A+B+C=180°, se tiene A+B2=90°−C2\dfrac{A+B}{2} = 90° - \dfrac{C}{2}, y por lo tanto tan⁡(A+B2)=cot⁡(C2)\tan\left(\dfrac{A+B}{2}\right) = \cot\left(\dfrac{C}{2}\right).
  3. Comparando esto con el dato del problema, (a+b)tan⁡(C2)=k(a−b)(a+b)\tan\left(\dfrac{C}{2}\right) = k(a-b), se puede despejar kk y, tras simplificar los factores tan⁡(C2)\tan\left(\frac{C}{2}\right) y cot⁡(C2)\cot\left(\frac{C}{2}\right) que se cancelan, se llega a: k=cot⁡(A−B2)k = \cot\left(\frac{A-B}{2}\right)
  4. Del dato tan⁡(A−B)=409\tan(A-B) = \dfrac{40}{9}, construimos un triángulo rectángulo auxiliar con cateto opuesto 4040 y cateto adyacente 99; su hipotenusa es 402+92=41\sqrt{40^2+9^2}=41.
  5. Usando las razones de ángulo mitad sobre ese triángulo auxiliar, se obtiene tan⁡(A−B2)=45\tan\left(\dfrac{A-B}{2}\right) = \dfrac{4}{5}, por lo que k=cot⁡(A−B2)=54k = \cot\left(\dfrac{A-B}{2}\right) = \dfrac{5}{4}.
  6. La inversión de la empresa es: (4k+7)=(4⋅54+7)=(5+7)=12 miles de soles=S/ 12 000(4k+7) = \left(4\cdot\frac{5}{4}+7\right) = (5+7) = 12 \text{ miles de soles} = S/\,12\,000