Admi-Tec
Difícil
Ecuaciones trigonométricas
UNI

Ejercicio de Trigonometría — UNI

Determine el conjunto solución de

3tan⁡2x+33tan⁡x=4.3\tan^2x+3\sqrt3\tan x=4.
Ver solución paso a paso

Pista: trata la ecuación como una cuadrática en tan⁡x\tan x; cada valor de la tangente genera una familia de soluciones con periodo π\pi.

1. Llevamos todo a un lado:

3tan⁡2x+33tan⁡x−4=0.3\tan^2x+3\sqrt3\tan x-4=0.

Factorizamos:

(3tan⁡x+4)(3tan⁡x−1)=0.(\sqrt3\tan x+4)(\sqrt3\tan x-1)=0.

2. Primer caso:

tan⁡x=−43.\tan x=-\frac4{\sqrt3}.

Entonces

x=mπ+arctan⁡(−43),m∈Z.x=m\pi+\arctan\left(-\frac4{\sqrt3}\right),\qquad m\in\mathbb Z.

3. Segundo caso:

tan⁡x=13.\tan x=\frac1{\sqrt3}.

Como arctan⁡(1/3)=π/6\arctan(1/\sqrt3)=\pi/6:

x=nπ+π6,n∈Z.x=n\pi+\frac\pi6,\qquad n\in\mathbb Z.

4. El conjunto solución es la unión de ambas familias.

Respuesta: E