Ejercicio de Trigonometría — PUCP

Pista: Expresa los segmentos OH y HE en función de θ usando razones trigonométricas dentro del triángulo rectángulo OHE, y calcula el área sombreada como la diferencia entre el sector circular EOD y el triángulo OHE.

1. Ubicar el triángulo rectángulo OHE, donde $OE=2$ (radio), y expresar sus catetos en función de θ: $OH=2\cos\theta$ y $HE=2\sin\theta$.

2. Calcular el área del sector circular EOD (de radio 2 y ángulo θ): $\text{Área sector}=\dfrac{\theta}{2}\cdot 2^2=2\theta$.

3. Calcular el área del triángulo OHE: $\text{Área triángulo}=\dfrac{(2\sin\theta)(2\cos\theta)}{2}=2\sin\theta\cos\theta$.

4. Calcular el área sombreada como la diferencia entre el sector y el triángulo: $A=2\theta-2\sin\theta\cos\theta$.

5. Aplicar la identidad del ángulo doble $2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta)$ para simplificar: $A=2\theta-\sin(2\theta)$.