Admi-Tec
Difícil
Identidades trigonométricas
PUCP · 2026

Ejercicio de Trigonometría — PUCP

En la figura adjunta, si ABCD es un rectángulo, exprese el área de la región sombreada en términos de θ. (O: centro de la semicircunferencia y T es punto de tangencia).

[Falta imagen obligatoria: rectángulo ABCD con una semicircunferencia de radio 2 inscrita, centrada en O (punto medio de AD), tangente al lado BC en el punto T. Desde O parte un radio hacia un punto E sobre la semicircunferencia, formando un ángulo θ con el lado AD; H es el pie de la perpendicular desde E hacia AD. La región sombreada corresponde al sector circular EOD menos el triángulo rectángulo OHE.]

Ver solución paso a paso

Pista: Expresa los segmentos OH y HE en función de θ usando razones trigonométricas dentro del triángulo rectángulo OHE, y calcula el área sombreada como la diferencia entre el sector circular EOD y el triángulo OHE.

1. Ubicar el triángulo rectángulo OHE, donde OE=2OE=2 (radio), y expresar sus catetos en función de θ: OH=2cos⁡θOH=2\cos\theta y HE=2sin⁡θHE=2\sin\theta.

2. Calcular el área del sector circular EOD (de radio 2 y ángulo θ): Aˊrea sector=θ2⋅22=2θ\text{Área sector}=\dfrac{\theta}{2}\cdot 2^2=2\theta.

3. Calcular el área del triángulo OHE: Aˊrea triaˊngulo=(2sin⁡θ)(2cos⁡θ)2=2sin⁡θcos⁡θ\text{Área triángulo}=\dfrac{(2\sin\theta)(2\cos\theta)}{2}=2\sin\theta\cos\theta.

4. Calcular el área sombreada como la diferencia entre el sector y el triángulo: A=2θ−2sin⁡θcos⁡θA=2\theta-2\sin\theta\cos\theta.

5. Aplicar la identidad del ángulo doble 2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡(2θ)2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta) para simplificar: A=2θ−sin⁡(2θ)A=2\theta-\sin(2\theta).