Admi-Tec
Difícil
Circunferencia trigonométrica
UNMSM · 2025

Ejercicio de Trigonometría — UNMSM

En la figura, se tiene el plano de un parque de forma circular de radio 1 u, donde α es la medida del arco AB⌢\overset{\frown}{AB}. La región sombreada está destinada a la construcción de una gruta. Halle el área de esta región.

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  1. Ubicando el arco AB⌢\overset{\frown}{AB} de medida α sobre la circunferencia trigonométrica de radio 1, el punto B tiene coordenadas (−cos⁡α, −sin⁡α)(-\cos\alpha,\,-\sin\alpha).
  2. Trazando la perpendicular desde B hacia el eje vertical se forma el punto Q, y se calcula la longitud OQ‾\overline{OQ} usando la tangente del ángulo θ marcado en la figura: tan⁡θ=OQ‾1=−sin⁡α1−cos⁡α\tan\theta = \dfrac{\overline{OQ}}{1} = \dfrac{-\sin\alpha}{1-\cos\alpha}, de donde OQ‾=−sin⁡α1−cos⁡α\overline{OQ}=\dfrac{-\sin\alpha}{1-\cos\alpha}.
  3. El área de la región triangular sombreada OQP se calcula como la mitad del producto de sus catetos: Aˊrea=(−sin⁡α1−cos⁡α)(−cos⁡α2)=sin⁡αcos⁡α2(1−cos⁡α)\text{Área} = \left(\dfrac{-\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\right)\left(\dfrac{-\cos\alpha}{2}\right) = \dfrac{\sin\alpha\cos\alpha}{2(1-\cos\alpha)}.
  4. Usando la identidad del ángulo doble sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{\sin2\alpha}{2}, el área queda expresada como sin⁡2α4(1−cos⁡α) u2\dfrac{\sin2\alpha}{4(1-\cos\alpha)}\,u^2.

Respuesta: C