Admi-Tec
Difícil
Resolución de triángulos
UNMSM · 2026

Ejercicio de Trigonometría — UNMSM

En posición normal, un ángulo α perteneciente al tercer cuadrante verifica la siguiente condición: 6sen2α−cos⁡α−5=06\text{sen}^2\alpha - \cos\alpha - 5 = 0. Calcule el valor de la constante A en la siguiente igualdad:

6csc⁡2α+53A sen α=06\csc^2\alpha + \dfrac{5}{\sqrt{3}}A\,\text{sen}\,\alpha = 0

Ver solución paso a paso
  1. Partiendo de 6sen2α−cos⁡α−5=06\text{sen}^2\alpha - \cos\alpha - 5 = 0 y usando sen2α=1−cos⁡2α\text{sen}^2\alpha = 1-\cos^2\alpha: 6(1−cos⁡2α)−cos⁡α−5=0⇒6cos⁡2α+cos⁡α−1=06(1-\cos^2\alpha) - \cos\alpha - 5 = 0 \Rightarrow 6\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1 = 0.
  2. Factorizando: (3cos⁡α−1)(2cos⁡α+1)=0⇒cos⁡α=13(3\cos\alpha - 1)(2\cos\alpha + 1) = 0 \Rightarrow \cos\alpha = \dfrac{1}{3} o cos⁡α=−12\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}.
  3. Como α ∈ IIIC, se cumple cos⁡α<0\cos\alpha < 0, por lo tanto cos⁡α=−12\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}.
  4. Con x=−1x=-1, r=2r=2: y=−r2−x2=−4−1=−3y = -\sqrt{r^2-x^2} = -\sqrt{4-1} = -\sqrt{3} (negativo por el tercer cuadrante), entonces sen α=−32\text{sen}\,\alpha = \dfrac{-\sqrt{3}}{2} y csc⁡α=2−3\csc\alpha = \dfrac{2}{-\sqrt{3}}.
  5. Sustituyendo en la igualdad: 6(2−3)2+53⋅A⋅(−32)=06\left(\dfrac{2}{-\sqrt{3}}\right)^2 + \dfrac{5}{\sqrt{3}}\cdot A\cdot\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 0.
  6. 8+−5A2=0⇒A=1658 + \dfrac{-5A}{2} = 0 \Rightarrow A = \dfrac{16}{5}.

Respuesta: D) 165\dfrac{16}{5}.