Ejercicio de Aritmética — UNI

Idea clave: para que un número escrito en base $n$ sea múltiplo de $(n-1)$, basta con que la suma de sus cifras sea múltiplo de $(n-1)$ — es el mismo criterio que usamos en base 10 para el 9, pero generalizado.

1. El numeral $\overline{1234...(n-1)}$ tiene como cifras exactamente los números $1,2,3,\dots,(n-1)$. Para que esta escritura tenga sentido, necesitamos al menos las cifras "1234" visibles, así que implícitamente $n-1\geq4$, es decir $n\geq5$.

2. La suma de esas cifras es la suma de los primeros $(n-1)$ números naturales: $S=1+2+\dots+(n-1)=\dfrac{(n-1)n}{2}$.

3. Necesitamos que $S$ sea múltiplo de $(n-1)$. Como $S=(n-1)\cdot\dfrac{n}{2}$, esto ocurre exactamente cuando $\dfrac{n}{2}$ es un número entero, es decir, cuando $n$ es par.

4. Combinando ambas condiciones — $n\geq5$ y $n$ par — el menor valor posible es $n=6$.

5. Verificación rápida: con $n=6$, el numeral es $\overline{12345}_{(6)}$, cuya suma de cifras es $1+2+3+4+5=15$, y $15$ sí es múltiplo de $5=n-1$. ✓

Respuesta: E) 6