Ejercicio de Trigonometría — UNI

(Pista: el área del sector remanente del disco (de ángulo $11\pi/6$) se reparte entre el área lateral del cono pequeño que queda arriba del corte y el área lateral del tronco de cono; plantea esa ecuación para hallar el radio de la sección transversal.)

1. (Calculamos el área total del sector usado para el cono) Al recortar un sector de ángulo $\pi/6$ del disco de radio R, queda un sector de ángulo $\dfrac{11\pi}{6}$, cuya área es $S_T = \dfrac{11\pi}{6}\cdot\dfrac{R^2}{2}$. Este sector, al enrollarse, forma toda la superficie lateral del cono completo.

2. (Descomponemos esa área total en dos partes) Al hacer el corte paralelo a la base, el cono completo se separa en un cono pequeño (de área lateral $S_1$, correspondiente a un sector de radio $R'$, el mismo ángulo $\frac{11\pi}{6}$ pero con radio de generatriz $R'$) y un tronco de cono (de área lateral $S_{T_r} = \dfrac{\pi R^2}{6}$, dato del problema). Entonces: $S_1 + S_{T_r} = S_T \;\Rightarrow\; S_1 = \frac{11\pi}{6}\cdot\frac{R^2}{2} - \frac{\pi R^2}{6}$

2. (Planteamos la ecuación con el sector del cono pequeño) El área $S_1$ también se puede escribir como el área de un sector de radio $R'$ y ángulo $\frac{11\pi}{6}$: $\frac{11\pi}{6}\cdot\frac{R'^2}{2} = \frac{11\pi}{6}\cdot\frac{R^2}{2} - \frac{\pi R^2}{6}$ Simplificando esta relación se obtiene: $\frac{11\pi}{6}\cdot\frac{R'^2}{2} + \frac{\pi R^2}{6} = \frac{11\pi}{6}\cdot\frac{R^2}{2}$

3. (Despejamos $R'$) Resolviendo la ecuación anterior para $R'$: $R' = \frac{3R}{\sqrt{11}}$

4. (Calculamos la longitud de la circunferencia de la sección) La generatriz del cono pequeño es $R'$, y el arco que le corresponde (con el mismo ángulo $\frac{11\pi}{6}$) es precisamente la circunferencia de la sección transversal buscada: $L = \frac{11\pi}{6}\cdot R' = \frac{11\pi}{6}\left(\frac{3R}{\sqrt{11}}\right) = \frac{\sqrt{11}}{2}\pi R$

5. (Concluimos) La longitud pedida es $\dfrac{\sqrt{11}}{2}\pi R$, que corresponde a la alternativa E.